cho cac so a,b,c,d thỏa mãn a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2 chứng minh rằng a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2021
BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:
Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)
\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)
Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)
Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)
Ta có:
\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)
\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)
Do đó:
\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)
\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))
Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.
Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng
11 tháng 4 2017
Thay b^4=(ac)^2 và tương tự với d^4
Từ đó đặt thừa số chung và sẽ ra kết quả!
KD
0
7 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Áp dụng tương tự ta được
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2};\frac{d}{1+a^2}\ge c-\frac{da}{2}\)
Tương tự ta cũng được
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8}=2\)
Do vậy ta được \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
HN
1
24 tháng 8 2015
a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c +d)2 => 2.(a2 + b2) + 2ab = 2.(c2 + d2) + 2cd
=> a2 + b2 + ab = c2 + d2 + cd (1)
+) a4 + b4 + (a + b)4 = (a2 + b2)2 - 2a2.b2 + (a + b)4 = [(a2 + b2)2 - a2.b2] + [(a + b)4 - a2.b2]
= (a2 + b2 - ab). (a2 + b2 + ab) + [(a + b)2 - ab].[(a+ b)2 + ab]
= (a2 + b2 - ab). (a2 + b2 + ab) + (a2 + b2 + ab). (a2 + b2 + 3ab) = (a2 + b2 + ab). [(a2 + b2 - ab) + (a2 + b2 + 3ab)]
= 2.(a2 + b2 + ab).(a2 + b2 + ab) = 2.(a2 + b2 + ab)2 (2)
Tương tự: c4 + d4 + (c+d)4 = 2. (c2 + d2 + cd)2 (3)
Từ (1)(2)(3) => đpcm
PB
1
7 tháng 4 2017
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c};c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (1)
Ta lại có : \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (2)
Từ (1) ; (2) => \(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (ĐPCM)
